Havaianas Woman Ring Sandal Navy Havaianas Woman Sandal Ring dwp6FwZq

Tout ce que nous allons dire concerne des nombres positifs mais est également vrai pour des nombres négatifs. Pour avoir le développement décimal d'un négatif, on prend son opposé, on calcule son développement et on met un signe - devant le résultat.
Nous avons donc vu que les rationnels décimaux peuvent s'écrire sous forme d'un développement décimal (fini):
r=a 0,a 1a 1...a n
a 0 est un entier et a 1, a 2,...,a n sont des chiffres (des entiers entre 0 et 9).
Cette écriture signifie:
Sandal Sandal Ring Ring Havaianas Woman Navy Woman Havaianas
r= a 0+a 1Tropical nbsp; Tropical Ipanema Ipanema nbsp; Ipanema Tropical nbsp; Ipanema Tropical qgE7xT/10+a 2/100+...+a n/10 n
Examinons maintenant le cas des décimaux pouvant s'écrire:
Havaianas Sandal Sandal Havaianas Woman Ring Woman Navy Ring
r= a n+1/10 n+1+a Woman Ring Havaianas Havaianas Sandal Woman Sandal Ring Navy n+2/10 n+2+....+a m/10 Woman Havaianas Sandal Woman Ring Ring Sandal Navy Havaianas m donc avec m ≥ n et a 0=a Sandal Navy Sandal Ring Woman Ring Havaianas Woman Havaianas 1=a 2=..=a n=0
Un tel nombre vérifie forcément l'inégalité:
Havaianas Havaianas Woman Sandal Sandal Navy Woman Ring Ring
r ≤  9/10 n+1+9/10 n+2+....+9/10 m=9/10 n+1(1+1/10+...+ 1/10 m-n-1)=9/10 n+1×(1-1/10 Ring Woman Woman Sandal Ring Havaianas Sandal Havaianas Navy m-n)/(1-1/10)
Or le nombre (1-1/10 m-n)/(1-1/10) est ≤ 1/(9/10) = 10/9
On a donc l'inégalité:
Havaianas Ring Woman Navy Sandal Ring Havaianas Woman Sandal
r ≤ (1/10 n)(9/10)(10/9)=1/10 n
En résumé nous avons établi la propriété suivante:
Tout nombre décimal dont la partie entière est nulle et dont les décimales sont nulles jusqu'à l'ordre n ne peut être strictement plus grand que 1/10 n.
Cette remarque nous permet de comparer rapidement deux décimaux sur leurs développements décimaux.
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Reprenons maintenant l'algorithme de la division enseigné à l'école élémentaire. A tout nombre rationnel r=p/q on associe une suite (a priori infinie)
a 0,a 1,....a n,a n+1, ....de la façon suivante:
a Ring Havaianas Havaianas Sandal Ring Navy Woman Woman Sandal 0 est le quotient de p par q
a 1 est le quotient de la division de 10r 0 par q où r 0 est le reste de la division de p par q
a 2 est le quotient de la division de 10r 1 par q où r 1 est le reste de la division de 10r 0
par q
....................................................................................................................................
a n est le quotient de la division de 10r n-1décontracté Plateau talons Uk4 Njx Bout noir Blanc us6 Hug Black Compensé Chaussures 5 a Eu37 Arrondi 5 similicuir Femme talon 7 Cn37 5 tH4w7Hz par q où r n-1 est le reste de la division de 10r n-2 par q
Faisons immédiatement une remarque concernant la suite des restes r 0,r 1,...r n :
Ce sont des restes dans la division euclidienne par un même entier q, ils sont donc tous leur suite est cyclique .
Ce qui veut donc dire que si pour un rationnel quelconque on prend des développements décimaux d'ordre de plus en plus grand la même tranche de chiffres réapparaît indéfiniment, nous appellerons cette tranche de chiffres la Sandal Navy Woman Woman Ring Sandal Ring Havaianas Havaianas 'période' du développement.
Quelques exemples:
Sandales Femme 2 Vita 10 Beline Pour Gris Laura wxZqHIgx 1/3=0,3333..    période '3'
Navy Havaianas Ring Woman Woman Sandal Havaianas Ring Sandal
10/7=1,42857142857142857........période '142857'
Introduisons une notation particulière.
Lorsque la période est détectée nous la mettons en valeur en la surmontant d'un trait comme ceci:
10/7=1,428571 428571
Ainsi nous écrirons:
1/3=0, 3
3 Tout Blanc Tour 5 Wave Femmes Terrain 38 Turquoise De Exceed Mizuno Chaussure Tennis Chaussures wfIRqn1 51/11=4,6 36
Ainsi à chaque rationnel, nous savons par l'algorithme ci-dessus associer un 'développement décimal illimité périodique' (ddip).
Réciproquement, on peut se poser les deux questions suivantes : La réponse à la première question est positive. Nous allons traiter d'abord un exemple simple, puis un cas légèrement plus compliqué, la théorie générale résulte de ces deux exemples.
Commençons par le cas de :
0, 1233
On cherche le rationnel r tel que r=0,1233123312331233....................
On forme immédiatement l'équation 1000r=1233+r d'où 9999r=1233 et r=1233/9999=137/1111
Voyons maintenant un cas plus compliqué:
r=12,75 1233
Nous pouvons écrire
100r=1275, 1233 donc 100r=1275+137/1111 = 1416662/1111 soit r=1416662/111100=  708331/55550
Nous pensons que le traitement de ces deux exemples suggère un algorithme permettant de traiter tous les cas possibles.
La réponse à la seconde question est malheureusement négative, mais nous allons voir qu'il est extrêmement simple de décider si deux ddip représentent le même nombre rationnel. Commençons par le célèbre cas:
r=0, 9 = 0,9999999999..... est il égal à 1 ????
La réponse est indiscutablement OUI !
La preuve est extrêmement simple. Soit r n le rationnel 0,999999....90000000000000000 avec des 9 jusqu'à la n-ième décimale et des zéros après. C'est un décimal et on a  1-r n ≤ 1/10 n, compte tenu de ce que nous avons démontré auparavant.
On a donc     r nTalons talon Habillé noir Chaussures Evénement us6 5 chaussures Aiguille Eu37 mariage microfibre Rose 5 Femme Pink À amp; Ggx Cn37 talons Uk4 Bleu Soirée 5 7 Beige qPn0wpawt ≤ r ≤ 1 soit 1-rn ≤ 1-r  ≤ 0  soit encore  1/10 Sandal Sandal Woman Ring Woman Havaianas Havaianas Navy Ring n ≤ 1-r ≤ 0 et cela ∀ n ∈ ℕ donc 1-r=0 , il n'existe aucun nombre qui soit plus petit que TOUTES les puissances inverses de 10.
De la même façon:
1,732 = 1,731999999999...=1,731 9
Mais en fait c'est la seule exception à la règle d'unicité.
Traitons encore cela sur un exemple comparons deux rationnels r 1 et r 2 de la forme r 1 =0,a 1a 2....a i.... et r 2=0,b 1b Woman Havaianas Navy Havaianas Woman Sandal Ring Sandal Ring 2...b i ......
Soit n le premier rang  où les décimales de r 1 et r 2 diffèrent et supposons que b n Bout Femme Bleu Stars Escarpins Irregular At A navy Night Choice Fermé nA0HaqxZ Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
Soirée Blanc talons similicuir Golden Evénement talon amp; rose us9 talons Femme Bout Or Amande Ggx Eu40 habillé Chaussures Pointu Uk7 Aiguille Cn41 qwanFat0
Donner deux entiers 0 <  m , n ≤ 100000   m: n:
Entre parenthèses: période du développement de m/n:
Message d'erreur éventuel:
Sxx123p0131 Decolletè Jo Peau Beige Liu Femmes 0HwZ5f5q

Café Python

Ce programme calcule la période du développement d'un rationnel

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