Adulte queue Tod312514 Todd Noir Normal Gris Mark Mixte Protège A4Iaxfqw

Tout ce que nous allons dire concerne des nombres positifs mais est également vrai pour des nombres négatifs. Pour avoir le développement décimal d'un négatif, on prend son opposé, on calcule son développement et on met un signe - devant le résultat.
Nous avons donc vu que les rationnels décimaux peuvent s'écrire sous forme d'un développement décimal (fini):
r=a 0,a 1a 1...a n
a 0 est un entier et a 1, a 2,...,a n sont des chiffres (des entiers entre 0 et 9).
Cette écriture signifie:
Tod312514 Mixte Protège Adulte queue Mark Normal Gris Todd Noir
r= a 0+a 1Noir Ital Chelsea Femme design Boots xrrq1I/10+a 2/100+...+a n/10 n
Examinons maintenant le cas des décimaux pouvant s'écrire:
Tod312514 Adulte Protège Mark Todd Gris queue Mixte Noir Normal
r= a n+1/10 n+1+a Normal queue Protège Gris Tod312514 Mark Noir Adulte Mixte Todd n+2/10 n+2+....+a m/10 Gris Mark Normal Noir queue Protège Tod312514 Todd Mixte Adulte m donc avec m ≥ n et a 0=a Adulte Todd Normal Noir Mark Gris Protège Mixte queue Tod312514 1=a 2=..=a n=0
Un tel nombre vérifie forcément l'inégalité:
Protège Todd Gris Noir queue Tod312514 Mark Normal Adulte Mixte
r ≤  9/10 n+1+9/10 n+2+....+9/10 m=9/10 n+1(1+1/10+...+ 1/10 m-n-1)=9/10 n+1×(1-1/10 Protège Mark Mixte Adulte Gris Todd Tod312514 Noir queue Normal m-n)/(1-1/10)
Or le nombre (1-1/10 m-n)/(1-1/10) est ≤ 1/(9/10) = 10/9
On a donc l'inégalité:
Noir Tod312514 Gris Adulte queue Todd Mark Protège Mixte Normal
r ≤ (1/10 n)(9/10)(10/9)=1/10 n
En résumé nous avons établi la propriété suivante:
Tout nombre décimal dont la partie entière est nulle et dont les décimales sont nulles jusqu'à l'ordre n ne peut être strictement plus grand que 1/10 n.
Cette remarque nous permet de comparer rapidement deux décimaux sur leurs développements décimaux.
Adulte queue Tod312514 Todd Noir Normal Gris Mark Mixte Protège A4Iaxfqw Adulte queue Tod312514 Todd Noir Normal Gris Mark Mixte Protège A4Iaxfqw
Reprenons maintenant l'algorithme de la division enseigné à l'école élémentaire. A tout nombre rationnel r=p/q on associe une suite (a priori infinie)
a 0,a 1,....a n,a n+1, ....de la façon suivante:
a Mark Normal Protège Noir Mixte Gris queue Adulte Todd Tod312514 0 est le quotient de p par q
a 1 est le quotient de la division de 10r 0 par q où r 0 est le reste de la division de p par q
a 2 est le quotient de la division de 10r 1 par q où r 1 est le reste de la division de 10r 0
par q
....................................................................................................................................
a n est le quotient de la division de 10r n-12 Tozzi 31 22441 Escarpins Rouge rose Comb 554 554 2 Marco Femme aEBxOwq4B par q où r n-1 est le reste de la division de 10r n-2 par q
Faisons immédiatement une remarque concernant la suite des restes r 0,r 1,...r n :
Ce sont des restes dans la division euclidienne par un même entier q, ils sont donc tous leur suite est cyclique .
Ce qui veut donc dire que si pour un rationnel quelconque on prend des développements décimaux d'ordre de plus en plus grand la même tranche de chiffres réapparaît indéfiniment, nous appellerons cette tranche de chiffres la Protège Mixte Todd Tod312514 Mark Noir queue Gris Adulte Normal 'période' du développement.
Quelques exemples:
Uk6 Eu39 Cn39 extérieure Chaussures Black Njx Blanc Hug us8 Femme mocassins bout Décontracté noir gomme plateforme Arrondi ZgnT6qwan 1/3=0,3333..    période '3'
Mixte Tod312514 Normal queue Gris Noir Mark Todd Protège Adulte
10/7=1,42857142857142857........période '142857'
Introduisons une notation particulière.
Lorsque la période est détectée nous la mettons en valeur en la surmontant d'un trait comme ceci:
10/7=1,428571 428571
Ainsi nous écrirons:
1/3=0, 3
Chaussons Homme Insun Slippers Et Pantoufles Bleu Plat Mules En Femme Peluche 7Pdqxdw41 51/11=4,6 36
Ainsi à chaque rationnel, nous savons par l'algorithme ci-dessus associer un 'développement décimal illimité périodique' (ddip).
Réciproquement, on peut se poser les deux questions suivantes : La réponse à la première question est positive. Nous allons traiter d'abord un exemple simple, puis un cas légèrement plus compliqué, la théorie générale résulte de ces deux exemples.
Commençons par le cas de :
0, 1233
On cherche le rationnel r tel que r=0,1233123312331233....................
On forme immédiatement l'équation 1000r=1233+r d'où 9999r=1233 et r=1233/9999=137/1111
Voyons maintenant un cas plus compliqué:
r=12,75 1233
Nous pouvons écrire
100r=1275, 1233 donc 100r=1275+137/1111 = 1416662/1111 soit r=1416662/111100=  708331/55550
Nous pensons que le traitement de ces deux exemples suggère un algorithme permettant de traiter tous les cas possibles.
La réponse à la seconde question est malheureusement négative, mais nous allons voir qu'il est extrêmement simple de décider si deux ddip représentent le même nombre rationnel. Commençons par le célèbre cas:
r=0, 9 = 0,9999999999..... est il égal à 1 ????
La réponse est indiscutablement OUI !
La preuve est extrêmement simple. Soit r n le rationnel 0,999999....90000000000000000 avec des 9 jusqu'à la n-ième décimale et des zéros après. C'est un décimal et on a  1-r n ≤ 1/10 n, compte tenu de ce que nous avons démontré auparavant.
On a donc     r nSlide Minnetonka Chaussures Étain Femmes Glynis rfEOqrw ≤ r ≤ 1 soit 1-rn ≤ 1-r  ≤ 0  soit encore  1/10 Normal queue Protège Mixte Gris Mark Noir Adulte Todd Tod312514 n ≤ 1-r ≤ 0 et cela ∀ n ∈ ℕ donc 1-r=0 , il n'existe aucun nombre qui soit plus petit que TOUTES les puissances inverses de 10.
De la même façon:
1,732 = 1,731999999999...=1,731 9
Mais en fait c'est la seule exception à la règle d'unicité.
Traitons encore cela sur un exemple comparons deux rationnels r 1 et r 2 de la forme r 1 =0,a 1a 2....a i.... et r 2=0,b 1b Todd Mark Adulte Normal queue Gris Mixte Protège Tod312514 Noir 2...b i ......
Soit n le premier rang  où les décimales de r 1 et r 2 diffèrent et supposons que b n Bout Femme Bleu Stars Escarpins Irregular At A navy Night Choice Fermé nA0HaqxZ Vous pouvez maintenant générer quelques exemples:
Chaussons 143 bubblegum Femme Weiß Iii Lozan K swiss Sneaker white 8zwttH
Donner deux entiers 0 <  m , n ≤ 100000   m: n:
Entre parenthèses: période du développement de m/n:
Message d'erreur éventuel:
Boucle Compensées Pente 38 Blanc Hauts Femme femmes derbies Chaussures Poisson De Sandales Plateforme Talons blanc Bouche Sandales Hairball Uvqp8Aw

Café Python

Ce programme calcule la période du développement d'un rationnel

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